Уравнения связи пролета с ускорениями. цели и ракеты
Согласно определению пролета R он является кратчайшим расстоянием между целью и ракетой при условии их прямолинейного относительного движения. При известных векторах скорости Vv и лежащих в одной плоскости, пролет может быть легко определен как проекция дальности на перпендикуляр к вектору относительной скорости ї^отн (рис. 1.10):
Vor«=Va-Vp. (1.64)
Можно показать, что в плоском движении
Л<(■>_. ,,.65)
^отн
При ПОСТОЯННОЙ относительной скорости Уотн, Дифференцируя выражение (1.65) и учитывая уравнение (1.50), получим уравнение, связывающее пролет с ускорениями цели и объекта, в виде
R — r^~ У2т, — (1.66)
І’ОТН
где проекция суммарного ускорения на перпендикуляр к
линии дальности /jT определяется выражением (1.51).
Поскольку в формуле (1.66) 1Л)тн=const, ТО
(1.67)
V ОТН
т. е. равно оставшемуся времени полета до момента встречи tB. Поэтому формула (1.66) может быть также представлена в виде
Я=(*в-0Лт.
Заметим, что на траекториях сближения, близких к встречным, пролет может быть приближенно выражен через линейное отклонение АЛ, определяемое выражением (1.52). Действительно, при ео=q выражения (1.51) и (1.58) совпадают. Поэтому
£ = (*,-*) ДА. (1.69)
Интегрируя обе части этого уравнения по времени, получим
/?(*)=(*.-*) ДА + ДА (0. (1.70)
Полученные уравнения связи описываются дифференциальными уравнениями и представляют собой инерционные элементы контура наведения. В системах телеуправления, когда сигналы ошибок представляются в виде линейных отклонений, уравнения связи в отличие от контура самонаведения стационарны.
Другим характерным элементом контура телеуправления является метод наведения, наиболее часто используемый в системах управления ракетами [11]. Как отмечалось, метод наведения определяет изменение во времени параметров заданной траекторий ракеты, обеспечивающей в отсутствии ошибок измерения ее попадание в цель. Поскольку точность наведения^определяется пролетом, то любой закон изменения параметров траектории ракеты, обеспечивающий нулевой пролет в момент встречи, может быть принят в качестве закона наведения. Очевидно, существует бесчисленное множество методов наведения, удовлетворяющих требованию нулевого пролета (или дальности) в один момент встречи. Другими словами, для данной траектории цели существует бесчисленное множество пересекающих ее, по крайней мере в одной точке, траекторий ракеты.
Поэтому при выборе метода наведения принимаем во внимание ряд дополнительных требований к траектории движения ракеты. Наиболее существенными считаем два требования:
1 — траектория должна определяться параметрами цели, которые могут быть измерены с достаточно малыми ошибками;
2 — ускорения при движении по траектории, определяемой законом наведения, должны быть малыми. При этом должны быть максимально использованы баллистические возможности ракеты.
Следует отметить, что эти требования приводят при выборе метода наведения к необходимости учета ошибок измерения датчиками информации параметров траектории цели и ракеты в различных условиях; анализа влияния этих ошибок на точность наведения; значений располагаемых ускорений ракеты; времени ее полета до точки встречи. Строго говоря, метод наведения может быть определен только совместно с контуром управления с учетом систематических и случайных ошибок радиолокаторов и счетно-решающих устройств, а также маневренных возможностей ракеты. При этом задача выбора закона наведения выходит за рамки кинематического анализа процесса наведения и становится задачей синтеза системы наведения с учетом динамических характеристик ее элементов.
Эта задача достаточно сложна и ее математическая формулировка, а также возможные пути решения будут рассмотрены ниже. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых классических законов наведения, которые являются предельными случаями указанных требований. Идеальным методом наведения с точки зрения необходимого ускорения ракеты, расходуемого на управление, является метод наведения, обеспечивающий ее полет в точку встречи с целью без ускорения. В принципе он может быть реализован, например, при движении ракеты по баллистической траектории, учитывающей характер изменения скорости ракеты, имеющей начало в точке старта, а конец в точке встречи и лежащей в вертикальной плоскости, проведенной через эти две точки [24, 27, 31]. При заданном режиме работы двигателя и известной точке встречи такая траектория может быть осуществлена при управлении начальным углом и величиной вектора скорости в момент старта или начала пассивного участка. Однако с точки зрения использования баллистических возможностей ракеты (обеспечение максимальной дальности активного полета, максимальной средней скорости и т. д.) этот метод может оказаться не оптимальным [7].
Другим существенным недостатком этого метода может быть необходимость определения координат точки встречи и полетного времени по траектории с высокой точностью, определяемой величиной конечного пролета. Для этого необходимо осуществлять пролонгацию траектории цели на длительное время. Большие вычисдитель — ные трудности представляет также задача точного определения времени полета ракеты до точки встречи, которая может быть сведена к системе трансцендентных уравнений.
Таким образом, вопрос о возможности использования закона наведения, обеспечивающего полет в точку встречи, может быть решен при известных характеристиках точности датчиков, вычислителей для определенных классов целей.
К группе методов наведения, основанных на пролонгации траектории цели, относится также метод параллельного сближения, который обеспечивает прямолинейный полет ракеты в точку встречи с целью, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью. При выполнении гипотезы о прямолинейности полета цели и отсутствии ошибок измерения координат ускорения ракеты необходимы лишь для компенсации силы тяжести, т. е. g = 9,8 м/сек2.
Прямолинейная траектория движения ракеты в точку встречи осуществляется, если вектор дальности ракета — цель имеет постоянное направление (ориентацию) в пространстве, т. е. перемещается параллельно самому себе. ‘
Действительно, линия дальности D будет неподвижна, если угловая скорость ее вращения q равна нулю. Из рис. 1.8 можно получить уравнение, связывающее q и проекции скоростей ракеты Vp и цели V4 на перпендикуляр к линии дальности:
£><7=Kpsin(0p—q)— l/nsin(0„—q). (1.71)
При ЭфЪ
<7=0, (1.72)
если VpSin(0p—?)= Уд8іп(0„ — q). (1.73)
При постоянных Ур и Уц равенство (1.73) является условием встречи двух тел, летящих прямолинейно с постоянными скоростями. Это утверждение следует из рис. 1.11, где В обозначена точка встречи, а АВ — пер
пендикуляр к линии дальности D между ракетой Р и целью Ц. Поскольку для встречи в точке В необходимо
ВЦ = ВР Уц~Ур ’
то из соотношения (1.74) получаем выражение (1.73).
Таким образом, условие постоянства направления вектора дальности ракета-цель есть условие прямолинейного полета в точку встречи при постоянных скоростях Vp и Кц.
В зависимости от измеряемых параметров траекторий цели и ракеты метод параллельного сближения может быть осуществлен условием (1.72), если измеряется угловая скорость линии дальности D, либо условием
<7(^)=const, (1.75)
если измеряется угол вектора D в какой-либо системе координат, либо условием
АА “*««(/)-Ар (*) = 0;
Азад (0~ru (£« so)’ Ap^TpSin^p Sq),
если измеряются линейные отклонения цели и ракеты от фиксированной линии отсчета, расположенной под углом со — Различия между условиями (1.72), с одной стороны, и (1. 75), (1. 76) —с другой, состоят в том, что в первом случае положение вектора D в пространстве не фиксировано, и он остается параллельным направлению, которое имело место в начальный момент выполнения условия (1.72). Во втором случае система наведения стремится обеспечить параллельной^ вектора D фиксированной линии отсчета.
Поэтому условия (1.75) и (1.76) являются более жесткими в общем случае требованиями, чем условие (1.72).
Уравнение связи (1.50) позволяет оценить потребные ускорения ракеты при наведении по методу параллельного сближения на маневрирующую цель.
Для обеспечения условия q = q=0 из уравнения (1.50) необходимо, чтобы суммарная проекция ускорения на перпендикуляр к линии дальности /sT равнялась нулю, начиная с момента to, в который д(/о)—0. Из (1.51) при этом следует, что проекция ускорения ракеты на перпендикуляр к вектору D должна быть равна проекции ускорения цели на это направление. Поэтому потребные ускорения ракеты для обеспечения метода параллельного сближения близки к ускорениям цели.
Из выражения для определения пролета (1.66) следует, что при методе параллельного сближения он равен •нулю при любом і. Недостатком метода параллельного сближения, как, впрочем, и любого «упрежденного метода», является необходимость, помимо остальных параметров, знания дальности от пункта управления до цели. Поскольку дальномерный канал радиолокатора менее помехозащищен, чем угломерные каналы [7], то он определяет низкую помехозащищенность метода, если цель снабжена помехами. Кроме того, в связи с большим упреждением флюктуационные ошибки и перегрузки ракеты могут быть выше, чем при других методах и в нормальных условиях наведения. Реализация метода связана с определенными трудностями. Этих недостатков лишен трехточечный метод наведения, или метод накрытия цели [11], не требующий измерения дальности от пункта управления (радиолокатора) до цели.
При трехточечном методе наведения ракета должна находиться на линии, соединяющей пункт управления с целью. Это требование будет выполнено, если имеет место равенство при плоском движении {
£Р=£ц5 Рр=Рц (1-Ю
или
LhT=rр(ец — £р)=0. (1.78)
Поэтому метод может быть осуществлен при измерении только угловых координат цели (угла места ец и азимута рц).
Закономерности трехточечного метода наведения могут быть проанализированы на основании равенства (1.77), следствием которого является равенство угловых
скоростей линии дальности ракета-цель и угла места цели, т. е.
(1.79)
Если цель летит прямолинейно при 0ц = 180° с постоянной скоростью Ец, то ее полярные координаты определяются из (1.37) и (1.38) уравнениями (рис. 1.12).
Гц=—’V„cose4; (1.80)
Гц6ц=і^ц8ІП8д. (1.81)
Как следует из рис. 1.12, параметр цели р, т. е. кратчайшее расстояние от оси х, определяется выражением Рис. 1.12. Кинематические
СВЯЗИ ПРИ ТРЄХТ0ЧЄЧН0М МЄ" /7=fusms4. (1.82) тоде наведения
Подставляя выражение (1.82) в уравнение (1.81), находим
£ц Уц
БІп2єц р
%
Из этого уравнения следует
£«W=s«o+arcctg
Р
При условии (1.77) из уравнения (1.38) имеем
гр5«=^р8ІП(9р-5«)’ (1.86)
отсюда
ep(*)=s«+arcsin-^. (1.86)
vv
Это выражение определяет угол наклона вектора скорости ракеты при движении по трехточечной траектории. Ускорения ракеты, возникающие при этом, могут быть
определены дифференцированием выражения (1.86) по формуле
/р=^р0р, (1-87)
либо из уравнений (1.50, 1.51) при Уц=Ур=/ц=0, т. е.
(1.88)
Как показывают расчеты, нормальные ускорения ракеты /p(f) при трехточечном методе наведения существенно зависят от условий встречи с целью и могут достигать значительных величин.
Поэтому обычно в трехточечный закон наведения вводят поправки упреждения еуПр, спрямляющие траекторию полета ракеты. Методы наведения с упреждением, сформированные на основе трехточечного метода, могут быть записаны в виде
єр==єц"І"£упр* П- 89)
Соответствующим выбором 8уПр можно получить совокупность методов, занимающих промежуточное положение между трехточечным методом и методом параллельного сближения.
При
£упр=arcsin ^ s’n (£ц — о] — (е„ — е0), (1. 90)
где во — угол линии отсчета, метод, заданный соотношением (1.89), совпадает с методом параллельного сближения. f
Если
£упр = ет. в (1.91)
где 8т. в — угол встречи ракеты с целью, то метод (1.89) обеспечивает прямолинейный полет ракеты в точку встречи при Кр = const. В частности, еуПр в соотношении (1.89) может быть вычислен при различных гипотезах движения цеди до встречи, например:
(1.92)
где tB — момент встречи. 42
Предположив, что скорость изменения угла места цели и скорость сближения цели и ракеты D постоянны, получаем из выражения (1.92)
®упр=£д "7Г * С1-93)
где D — текущее расстояние между целью и ракетой.
При рассматриваемых условиях метод, заданный соотношением (1.93), обеспечивает полное спрямление траектории ракеты. Однако такой метод, как и метод параллельного сближения, чувствителен к случайным ошибкам. Поэтому целесообразно рассматривать частичное упреждение’ траектории цели в виде
D •-
еУ“Р = х^е«»
где х<1.
Соотношение (1.94) определяет значение упрежденного угла места цели в промежуточной точке между текущим положением цели и точкой встречи, определяемой значением коэффициента и. Степень упреждения к зависит от соотношения между -случайными и инструментальными ошибками измерения координат и потребными перегрузками метода. Определяющими могут оказаться доподнителыШе требования. Например, некритичность метода к маневру цели в точке встречи и т. д. Различную кривизну траекторий полета ракеты в одинаковых условиях наведения обеспечивает метод наведения, называемый методом пропорциональной навигации [18]. В этом методе угловая скорость вектора скорости ракеты 0Р пропорциональна угловой скорости вектора дальности ракета — цель д:
=kq, (1.95)
где k — навигационная постоянная.
Можно показать [7], что при k—>-оо метод пропорциональной наригации совпадает с методом параллельного сближения, а при 4 = 1 с методом наведения по кривой погони, при котором необходимые ускорения ракеты стремятся к бесконечности [11].
Однако в отличие от самонаведения при использовании метода пропорциональной навигации в системе телеуправления возникают трудности вычисления q по дан-
ным наземных радиолокаторов. Например, если измеряются полярные координаты, то в плоском движении необходимо определять производную выражения
что может быть осуществлено с необходимой точностью только с применением цифровых вычислительных машин. Кроме того, при телеуправлении по методу пропорциональной навигации обычно существенно возрастают флюктуационные перегрузки в конце участка наведения, что во многих случаях может оказаться недопустимым. Анализ методов наведения [7, 18, 11] показывает, что при наличии информации о дальности до цели наряду с ее угловыми координатами может быть обеспечена траектория движения ракеты, близкая к прямой линии при прямолинейном движении цели. Ускорения ракеты в процессе наведения при этом определяются ошибками измерения координат цели и ракеты. Отказ от измерения дальности до цели (трехточечный метод наведения) приводит к значительной кривизне траектории ракеты. Вместе с тем анализ влияния ошибок измерений на потребные ускорения ракеты при том или ином методе наведения может быть проведен лишь при рассмотрении контура управления в целом. При этом возникает задача определения оптимального метода наведения и метода обработки информации в системе [31]. Эта задача будет рассмотрена в дальнейшем.